یادم نیست اولین‌بار کی با «بردار» برخوردم ولی یادم هست خیلی بدیهی به‌نظرم آمد؛ بدیهی عین عددها. اما از همان راهنمایی-دبیرستان آرام‌آرام حس کردم این مخلوق ذهنی بشر آن‌چنان پیش‌پا افتاده نیست؛ البته که همۀ ما شهود واضحی از بردارها داریم، معلوم است که وقتی دو نفر با طناب در دوراستا میزی را می‌کشند نهایتا میز در جهتی بین دو راستایی که دو سر طناب نشان می‌دهند به حرکت می‌افتد، اما این که این واقعیت شهودی واضح بدیهی تبدیل به یک سری موجودات ریاضی کمی با قابلیت جمع و تفریق و ضرب دقیق و روشن شوند برایم کم‌کم اتفاق عجیبی می‌نمود؛ عجیب‌تر برایم آن ذهنی بود که اولین بار این شهود غیرریاضی را با خلق مفهوم ذهنی «بردار» ریاضی کرده. چون شنیده بودم اولین بار حاج‌آقای دکارت از دستگاه مختصات برای اشاره به موجودیت‌های هندسی بهره برده گمان می‌کردم بردار نیز آفریدۀ ذهن اوست و برای همین خیلی ازش خوشم می‌آمد. خیلی دوست داشتم بدانم چگونه از آن ایدۀ اولیۀ مختصات رسیده‌ایم به بردار فعلی با این ویژگی‌هایی که می‌آیند سر کلاس‌های ریاضی تندوتند پای تخته می‌نویسند. گشتم تا به این کتاب رسیدم.
تاریخچه تحلیل برداری، اثر میشل کرو؛ کتابی که اخیرا خواندم
اگر حوصله‌تان می‌کشد سه بند بعدی را بخوانید تا بگم چه از کتاب یادم مانده! وگرنه بپرید بند آخر!
قضیه برمی‌گردد به اوایل قرن نوزدهم؛ وقتی می‌بینند می‌توانند هر عدد مختلط را در یک صفحۀ دو بعدی نشان بدهند به سرشان می‌زند ببینند اعدادی می‌توانند بیابند که هر کدامشان نقطه‌ای از فضای سه بعدی را نشان دهد؟ تلاش می‌کنند، نمی‌توانند؛ یک چیزهایی رو می‌کنند، اما هر کدام نقصی داشته، یکی ضربش خراب بوده یا یکی نمی‌دونم چی. تا پس از سال‌ها ممارست نگاه کانتی حاجی‌همیلتون به فضا و زمان اعداد حاجی را می‌سازد و او سال 1840 آن را رو می‌کند؛ چارگان. چارگان هم مثل عدد مختلط؛ چطور عدد مختلط یک جزء حقیقی داشت یک جزء موهومی، این چهارگان هم دو جزء دارد: یک جزء اسکالر (تو بگو زمان) و یک جزء برداری (برای مکان) و گویا واژۀ بردار برای اولین بار اینجاست که پا به عرصۀ ریاضیات می‌گذارد! چارگان‌های همیلتون خب چیزایی بودند؛ جمع‌وتفریق می‌شدند، ضرب می‌شدند حتی؛ ویژگی‌های اعداد مختلط (جابه‌جایی، خاصیت پخشی، شرکت‌پذیری، این لاطائلات خلاصه) را هم داشتند؛ البته جابه‌جایی در ضرب را نداشتند که حاجی‌همیلتون از گولاخی خودش در عصرش استفاده می‌کند این را حقنه می‌کند که اصلا جابه‌جایی در ضرب مهم نیست، بقیه هم کمی مقاومت می‌کنند ولی تهش می‌پذیرند! ضرب همیلتون بسیار جالب است؛ دو چارگان برداری خالص (اسکالر صفر) را اگر در هم ضرب کنید، حاصل یک چهارگان دیگر می‌شود که جزء اسکالر آن برابر منفی ضرب داخلی خودمان است و جزء برداری آن همان ضرب خارجی خودمان! این آی و جی و کی که ضربشون در هم می‌شود دیگری ایدۀ همیلتون بوده و همان پایه‌های جزء برداری چارگان هستند.
همزمان حاج‌آقای گرسمن در آلمان هم اتفاقات جالبی رقم می‌زند. گرسمن علوم را یا عینی می‌دانسته یا ذهنی. علوم عینی به موجودات گره خورده‌اند ولی علوم ذهنی مخلوق صرفاً ذهنند. مثلاً ریاضی محض را ذهنی محض می‌دیده چون اساسا با چیزی خارج از ذهن کار ندارد، برعکس هندسه که اشتباهاً داخل ریاضی گنجانده می‌شود. مثلا فضا به عنوان یک مفهوم هندسی حقیقتی عینی است که ذهن ما عمرا نمی‌توانسته آن را بسازد. گرسمن می‌رود به سمت یک فرم محض، یک انتزاع محض ریاضی که نیازی به فرضی بیرون ذهن نداشته باشد. سطح انتزاعی که گرسمن با آن می‌آغازد حقیقتاً جالب است؛ به طوری که تحسین دانشمندان دهه‌ها بعد از خود را برمی‌انگیزاند. گرسمن با چهار مفهوم برابر و متفاوت و پیوسته و گسسته مدعی است می‌شود همۀ ریاضیات را توسعه داد. گرسمن تئوری فرم خود را با فرم‌های بی‌محتوا و اتصال آن‌ها می‌آغازد. گرسمن می‌گوید فرم‌های ذهنی یا با هم اتصال ترکیبی دارند یا اتصال تجزیه‌ای. اتصال ترکیبی آ و ب مثل اتصال ترکیبی ب و آ ست. اتصال تجزیه‌ای هر چیزی با خودش یک فرم بی‌تفاوت است. اتصال تجزیه‌ای آ و ب برابر اتصال تجزیه‌ای ب و آ نیست بلکه برابر اتصال تجزیه‌ای فرم بی‌تفاوت با اتصال تجزیه‌ای ب و آست. حاصل اتصالات ترکیبی و تجزیه‌ای فرم‌هایی از سنخ همان فرم‌های مورد ترکیب و تجزیه است. اما برخی اتصالات فرم‌های مرتبه بالاتر را می‌سازند، مثل اتصال تکثیری. مثلا اتصال ترکیبی برای اعداد همان عمل جمع است و اتصال تجزیه‌ای و تکثیری همان تفریق و ضرب (گرسمن خواصی برای اتصالات برمی‌شمرد اما بی‌هیچ توضیحی از کنار خاصیت جابه‌جایی برای اتصال تکثیری می‌گذر، یک گذشتن هوشمندانه! ). گرسمن با این مقدمه همین انتزاع را به فرم‌های هندسی انضمام می‌کند. اتصال ترکیبی و تجزیه‌ای را برای نقاط تعریف می‌کند و با اتصال تکثیری آن‌ها به خط می‌رسد؛ همینطور اتصال تجزیه‌ای و ترکیبی خطوط را هم تعریف می‌کند و با اتصال تکثیری آن‌ها به سطوح می‌رسد، و به حجم می‌رسد و حتی می‌گوید چه بسا به بالاتر هم بتوان رسید. گرسمن برای اتصال تکثیری یا همان ضرب چند گونه تعریف ارائه می‌کند که دو گونۀ آن بسیار شبیه همین چیزی است که ما الان می‌بینیم. گرسمن مقاله‌اش را 1841 منتشر می‌کند؛ منتها برخلاف همیلتون ذوالشوکة، صرفا یک مدرس ساده دانشگاه بوده و چندان صدایش شنیده نمی‌شود.
می‌گذرد. هم همیلتون می‌میرد هم گرسمن. حرف همیلتون را کم‌تر کسی می‌فهمد، حرف گرسمن را کم‌تر کسی می‌خواند. همیلتون منتها گولاخی بوده و دکون دستگاهی داشته، شاگردش تیت راه استاد را ادامه می‌دهد. حالا این تیت کی بوده؟ این رفیق حاج‌آقا ماکسول بوده؛ با یک سال اختلاف وارد یک دانشگاه می‌شوند و روابط حسنه‌ای از جوانی با هم داشتند. نگاه چارگانی تیت که از همیلتون به ارث رسیده بوده به ماکسول سرایت می‌کند و ماکسول آن را به‌کار می‌بندد و نظریات الکمغی‌ش را که می‌دانید می‌پراکند؛ در نظریاتش از چارگان‌ها هم استفاده می‌کند. ماکسول می‌میرد. (ملت می‌بینند برای شناخت الکمغ باس کمی فضای سه بعدی را بشناسند، علاقه‌مند می‌شوند به قضایا). هویساید می‌نشیند می‌بیند چه کاری است، هیچ‌جا ماکسول از ضرب چارگانی به تنهایی استفاده نکرده، یا جزء برداری چارگان ضرب را گرفته یا جزء اسکالرش را. اتفاقا گیبس هم آن‌ور آب همین را می‌بیند و به طور موازی هویساید و گیبس می‌آیند یک نظام برداری معرفی می‌کنند، بدون قرتی بازی‌های چارگان؛ قشنگ ضرب داخلی و خارجی را جدا می‌کنند و با کمی تغییر، مجموعه خواصی برای بردارها ارائه می‌کنند. حالا این‌طور نبوده که تیت هم بنشیند نگاه کند ببیند با یادگار استادش چه کار می‌کنند، کلی مجادلات مناظره‌ای مقالاتی با همین اقایان راه می‌اندازد. کاری نداریم، عاقبت هویساید از فرط مقاله‌پراکنی الکمغی در توضیح نظریات ماکسول با نظام برداری اصلاح‌شده‌ای که همان چارگان با کمی جرح و تعدیل بود و خودش توسعه داده بود توجهات را از چارگان‌ها بر می‌دارد و گیبس و شاگردش با تولید کتاب‌های تحلیل برداری آن‌طور که خودشان می‌پسندیدند رسماً چارگان‌ها را کنار می‌زنند و نظام برداری مدرن این‌گونه پایه‌ریزی می‌شود. هیچ کاری هم به نگاه عمیق همیلتون یا زیبایی چارگان‌هایش و این‌ها نداشتند، می‌بینند نگاه برداری‌شان جواب می‌دهد همان را می‌گیرند و می‌روند جلو. گرسمن چی شد؟ هیچی بعدا ملت می‌بینند چه جالب او هم نظرات جالبی داشته کاش سراغش می‌رفتند زودتر!
خوب خوب خوب. دکارت چی شد؟ نیوتون پس چی؟ یعنی آن‌ها،... پس بردار... قرن نوزده؟ بله! من هم چون شنیده بودم اولین بار حاج‌آقای دکارت از دستگاه مختصات برای اشاره به موجودیت‌های هندسی بهره برده گمان می‌کردم بردار نیز آفریدۀ ذهن اوست و برای همین خیلی ازش خوشم می‌آمد. اما اصلا نمی‌توانستم تصور کنم مفهوم بردار به این شکلی که ما الان آن را می‌شناسیم را حتی نیوتون (بله، همان نیوتون که برایند نیروها را با قاعدۀ متوازی‌الاضلاع حساب می‌کرده) هم نمی‌شناخته! حتی لایب‌نیتز هم که در دوبعد حرکت‌های برداری می‌زده هم بردار نمی‌دانسته چیست! حتی استوکس و گرین هم با آن اتحاد‌های نابلامآب ضرب‌داخلی‌آلودِ ضرب‌خارجی‌ملالشان هم با برداری که ما می‌شناسیم آشنا نبودند! پس تعجبم بی‌خود نبود؛ بردار واقعاً مفهوم پیش‌پاافتاده‌ای نیست و همچین نبوده که دکارت فکر کند یک هو برسد به همین برداشت فعلی ما از بردار؛ از زمان دکارت تا اوایل قرن بیستم چیزی حدود دو قرن طول می‌کشد تا این اختراع ذهنی که بازگو و بازنمای یک شهود حقیقی واقعی است، شفاف شود. در همۀ این سال‌ها (یعنی از دکارت تا گیبس) هرچند دانشمندان با بردار به شکل مدرن آن آشنا نبودند، اما همه با بردار و شهودی که از آن داشتند (ولو چنین اسمی را ندانسته باشند یا چنین تلقی‌ای از آن نداشته باشند) زندگی می‌کرده‌اند. به قول هویساید: «مدت‌های مدید ملت برداری فکر می‌کرده‌اند و بردار را می‌شناخته‌اند هرچند هیچ چیز از نحوۀ کار با آن را نمی‌دانسته‌اند». نیوتون و لایبنیتس و فارادی و آمپر به‌طور طبیعی پدیده‌های برداری را برداری می‌دیده‌اند، هرچند از بردار استفاده نمی‌کردند؛ با این حال با آن چه دستشان بوده کارشان را راه می‌انداخته‌اند و این شهود رفته‌رفته شفاف‌تر شده تا نهایتاً در ذهن همیلتون و گرسمن و هویساید و گیبس و غیره نهایتا شکل می‌گیرد و می‌شود اینی که شده. دارم فکر می‌کنم چه مفاهیم شهودی بدیهی دیگری داریم که حتی بعضا برخی از آن‌ها را دست‌پاشکسته داریم با ریاضیات فعلی توضیح می‌دهیم، حال آن که انتزاع ریاضی دقیق‌تر و ساده‌تری برای آن شهودمان می‌توان داشت.
۰
